指数関数と対数関数の違い――増える仕組みと、その逆算

指数関数は「何回掛けると、どれだけ増えるか」を表し、対数関数は「その大きさになるまで、何回掛けたか」を表します。 両者は、互いに逆の関係にあります。

例えば、2を繰り返し掛けると、\[ 2^3=8 \]

となります。これを逆向きに問い直した「2を何乗すれば8になるか」の答えが、対数です。\[ \log_2 8=3 \]

比較	指数関数	対数関数
基本形	\(y=2^x\)	\(y=\log_2 x\)
入力するもの	何乗するか	何乗した結果か
求めるもの	乗じた結果	何乗したか
具体例	3を入力すると8	8を入力すると3
入力できる範囲	すべての実数	正の実数のみ
出力される範囲	正の実数のみ	すべての実数

増え方の違いを見ると、より直感的に理解できます。

指数関数 \(y=2^x\) は、\(x\)が1増えるたびに、\(y\)が2倍になります。\[ x：0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \qquad y：1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 \]

対数関数 \(y=\log_2 x\) は、\(x\)が2倍になるたびに、\(y\)が1増えます。\[ x：1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 \qquad y：0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4 \]

つまり、指数関数は一定の倍率による増加を表し、対数関数は倍率の違いを足し算で扱える形に変えます。

投資の複利も、この関係で考えられます。毎年5％で増える資産の、\(t\)年後の金額は、\[ 資産額=元本\times1.05^t \]

という指数関数です。一方、「資産が2倍になるまで何年かかるか」は対数で求めます。\[ t=\frac{\log 2}{\log 1.05}\approx14.2年 \]

将来の金額を求めるのが指数、目標の金額に達するまでの年数を求めるのが対数、という使い分けです。

なお、上の増え方の説明は底が1より大きい場合です。底が0と1の間なら、指数関数・対数関数ともに、入力が増えるほど出力は小さくなります。